Polynômes du second degré
Précédemment, nous avons défini et étudié les polynômes du second degré. Faisons un bref rappel...

Une fonction $f$ polynôme du second degré est définie pour tout $x$ dans $\mathbb{R}$ et peut avoir différentes formes présentant chacun certains avantages. $$test$$

Forme développée factorisée canonique
Expression $$ax^2+bx+c$$ $$a(x-x_1)(x-x_2)$$ $$a(x-\alpha)^2 + \beta$$
Existence toujours : c'est la forme de base parfois : n'existe que si le polynôme a des racines toujours, en appliquant cette méthode à la forme développée
Sommet de la parabole $(a\gt 0)$
Attention, il n'y pas une forme meilleure q'une autre. Chacune présente ses avantages et inconvénients. Par exemple, la forme factorisée donne directement les racines $x1$ et $x_2$, mais malheureusement cette forme n'existe pas toujours...

Avant d'aller plus loins, si besoin, n'hésitez pas à relire la première partie de ce chapitre pour vous rafraîchir la mémoire :

test Formes et utilisations d'un polynôme de degré 2 (développée, factorisée et canonique)... Dans la deuxième partie de ce chapitre, nous nous intéressons aux racines des polynômes et à comment les obtenir pour chaque forme. Nous découvrirons un outil très efficace pour l'étude des polynômes de degré 2 : le discriminant Δ.
Nous nous intéressons dans cette partir au problème qui est de résoudre l'équation d'inconnue $x$ : $$ f(x) = 0 $$ Dans le cas de la forme factorisée, c'est assez simple : L'équation $a(x-x_1)(x-x_2) = 0$ d'inconnue $x$ admet deux solution sur $\mathbb{R}$ : $$ \mathcal{S} = \{x_1;x_2\} $$ En effet, $$f(x_1) = a \color{red}{(x_1 - x_1)} (x_1 - x2) = a \times \color{red}{0} \times (x_1 - x_2) = 0 $$ $$f(x_2) = a(x_2 - x_1) \color{blue}{(x_2 - x2)} = a \times (x_2 - x_1) \times \color{blue}{0} = 0 $$ Pour la forme canonique, c'est moins simple et il n'y a pas toujours de solutions. On peut appliquer la méthode suivante pour obtenir les solutions éventuelles : Soient $a\neq 0$ $\alpha, \beta \in \mathbb{R}. $On cherche à résoudre l'équation : $$ a(x-\alpha)^2 + \beta = 0 $$ On commence par isoler le carré : $$ \begin{array}{ccccl} & a(x-\alpha)^2 &=& -\beta & \\ \Leftrightarrow & (x-\alpha)^2 &=& -\frac{\beta}{a} & \text{car } a\neq 0 \\ \end{array} $$ Il y a trois cas possibles :

Cas ${\small \frac{-\beta}{a} \lt 0}$ :

Dans ce cas, l'équation n'a pas de solution car le carré $(x-\alpha)^2$ est positif. $$ \mathcal{S} = \emptyset $$

Cas ${\small\frac{-\beta}{a} = 0}$ :

C'est le cas où $\beta=0$. On cherche en fait à résoudre : $$ \begin{array}{ccccl} & (x-\alpha)^2 &=& 0 & \\ \Leftrightarrow & x-\alpha &=& 0 & \text{car un carre s'annule seulement en } 0 \\ \Leftrightarrow & x &=& \alpha & \\ \end{array} $$ Il n'y a qu'une solution : $$ \mathcal{S} = \{\alpha\} $$

Cas ${\small\frac{-\beta}{a} \gt 0}$ :

C'est une équation du type $X^2 = k$ Si $a\gt 0$ l'équation $X^2=k$ admet deux solutions : $X=-\sqrt{k}$ ou $X=\sqrt{k}$ avec $k\gt 0$. On a donc deux solutions : $$ \begin{array}{c|c} \begin{array}{ccc} (x_1-\alpha) &=& -\sqrt{-\frac{\beta}{a}} \\ x_1 &=& \alpha -\sqrt{-\frac{\beta}{a}} \end{array} & \begin{array}{ccc} (x_2-\alpha) &=& \sqrt{-\frac{\beta}{a}} \\ x_2 &=& \alpha +\sqrt{-\frac{\beta}{a}} \end{array} \end{array} $$ On a deux solutions : $$ \mathcal{S} = \{\alpha -\sqrt{-\frac{\beta}{a}} ; \alpha +\sqrt{-\frac{\beta}{a}}\} $$

Conclusion

Les formules ne sont pas à connaître, mais on retient que l'équation peut avoir $0$, $1$ ou $2$ solution selon que $-\frac{\beta}{a}$ soit nul, négatif ou positif. Pas de panique, cette méthode sera rarement appliquée, sauf sur des cas simples. Elle permet surtout de comprendre l'utilisation du discriminant à partir de la forme développée (utilisée dans la plupart des cas). Affichez la zone suivante pour observer cette méthode sur 3 exemples simple, ça fait moins peur... Les trois exemples suivants correspondent aux trois cas $\frac{-\beta}{a} = 0 $, $\frac{-\beta}{a} \lt 0 $ et $\frac{-\beta}{a} \gt 0 $ :

Exemple 1 :

On considère l'équation $5(x-3)^2 = 0$ : $$ \begin{array}{ccc} 5(x-3)^2 &=& 0 \\ (x-3)^2 &=& \frac{0}{5} = 0 \\ x-3 &=& 0 \\ x &=& 3 \end{array} $$ La solution est unique : $$ \mathcal{S} = \{3\} $$

Exemple 2 :

On considère l'équation $2(x-4)^2 + 5 = 0$ : $$ \begin{array}{ccc} 2(x-4)^2 &=& -5 \\ (x-3)^2 &=& -\frac{5}{2} \end{array} $$ Or c'est impossible car un carré est toujours positif. Il n'y a pas de solution : $$ \mathcal{S} = \emptyset $$

Exemple 3 :

On considère l'équation $(x-1)^2 - 9 = 0$ : $$ \begin{array}{ccc} (x-1)^2 - 9&=& 0 \\ (x-1)^2 &=& 9 \\ \end{array} $$ Or, $9 \gt 0$, il y a donc deux solution $x_1$ et $x_2$ : $$ \begin{array}{c|c} \begin{array}{ccc} x_1-1 &=& -\sqrt{9} \\ x_1-1 &=& -3 \\ x_1 &=& -3+1 \\ x_1 &=& -2 \end{array} & \begin{array}{ccc} x_2-1 &=& \sqrt{9} \\ x_2-1 &=& 3 \\ x_2 &=& 3+1 \\ x_2 &=& 4 \\ \end{array} \end{array} $$ L'ensemble des solution est : $$ \mathcal{S} = \{-2;4\} $$ Sur quelques exemples, c'est tout de suite moins impressionnant... A l'aide de la méthode précédente, nous allons pouvoir proposer une formule et une méthode pour déterminer les racines éventuelles à partir de la forme développée. Pour cela, le discriminant $\Delta$ va devenir essentiel... Soit $f(x)=ax^2+bx+c$ où $a\neq 0$, $b,c \in \mathbb{R}$. Le discriminant de $f$ vaut : $$ \Delta = b^2 - 4 ac $$ Et donc : On considère l'équation $ax^2+bx+c = 0$ :
  • Si $\Delta \lt 0$ : l'équation n'a pas de solution
  • Si $\Delta = 0$ : l'équation a une unique solution $x_0 = \frac{-b}{2a}$
  • Si $\Delta \gt 0$ : l'équation a deux solutions $x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$

La preuve de cette propriété repose sur la méthode précédente avec la forme canonique.

On rappelle les formules suivantes pour passer de la forme développée à la forme canonique : $$ \color{green}{\alpha}=\color{green}{\frac{-b}{2a}} \text{ et } \beta=\frac{-\Delta}{4a} $$

Dans la méthode précédente, il y a trois cas selon le signe de $-\frac{\beta}{a}$. Or : $$ \color{red}{-\frac{\beta}{a}} =\frac{-\frac{-\Delta}{4a}}{a} = \color{red}{\frac{\Delta}{4a^2}} $$

Ainsi, comme $4a^2$ est positif, le signe de $\frac{-\beta}{a}$ est le même que celui de $\Delta$.

En reprenant les 3 cas de la méthode précédente et en remplaçant $\alpha$ et $\beta$ avec les formules rappelées ici, on obtient :

Cas ${\small \Delta \lt 0}$

L'équation n'a pas de solution.

Cas ${\small \Delta = 0}$

L'équation a une unique solution $x_0 = \alpha = \frac{-b}{2a}$

Cas ${\small \Delta \gt 0}$

L'équation a deux solutions $ x_1=\alpha -\sqrt{-\frac{\beta}{a}}$ et $x_2=\alpha +\sqrt{-\frac{\beta}{a}}$. On applique les formules à $$ \begin{array}{cccl} x_1 &=& \color{green}{\alpha} \color{blue}{-}\sqrt{\color{red}{-\frac{\beta}{a}}} & \\ x_1 &=& \color{green}{\frac{-b}{2a}} \color{blue}{-} \sqrt{\color{red}{\frac{\Delta}{4a^2}}} & \\ x_1 &=& \frac{-b}{2a} \color{blue}{-} \frac{\sqrt{\Delta}}{\sqrt{4a^2}} & \\ x_1 &=& \frac{-b}{2a} \color{blue}{-} \frac{\Delta}{2a} & \text{ si } a \gt 0 \\ x_1 &=& \frac{-b \color{blue}{-} \sqrt{\Delta}}{2a} & \end{array} $$ Pour $x_2$, le calcul est le même avec un $\color{blue}{+}$ au lieu d'un $\color{blue}{-}$ : $$ \begin{array}{ccc} x_2 &=& \frac{-b \color{blue}{+} \sqrt{\Delta}}{2a} & \text{ si } a \gt 0 \end{array} $$ On a raisonné en supposant que $a\gt 0$. Si on a $a \lt 0$, alors $\sqrt{a^2} = -a$. Ce qui a pour effet de changer le signe \color{blue}{+/-}devant $\sqrt{\Delta}$. Ca ne change rien au final car ça ne fait qu'échanger $x_1$ et $x_2$. Pour des exemples concrets, vous pouvez utiliser l'exerciseur suivant (et vous entraîner un peu). Commencez par les cas simples... test Résoudre une équation du second degré à l'aide du discriminant Δ.
On rappelle que les variations d'un polynôme défini par $f(x)=ax^2+bx+c$ peuvent être déduites du signe de $a$ :
$$\text{Si } a\gt 0$$ $$\text{Si } a\lt 0$$
$f$ admet un minimum en $x=\frac{-b}{2a}$ valant $\frac{-\Delta}{4a}$ $f$ admet un maximum en $x=\frac{-b}{2a}$ valant $\frac{-\Delta}{4a}$
Il n'est pas nécessaire de calculer $\Delta$ pour connaître la valeur de l'extremum. On peut tout simplement calculer $f(\frac{-b}{2a})$ car : Selon le signe de $\Delta$, nous connaissons le nombre de racines du polynôme $f$ et selon le signe de $a$, nous connaissons ses variations. On peut donc résumer les cas possibles à l'aide de ce tableau :
$\Delta\lt 0$ (0 racine) $\Delta = 0$ (1 racine) $\Delta\gt 0$ (2 racines)
$a\lt 0$
$a\gt 0$
Pour chacun de ces cas, il est facile de déduire le tableau de signe à partir du signe de $\Delta$ et celui de $a$ :
$\Delta\lt 0$ (0 racine) $\Delta = 0$ (1 racine) $\Delta\gt 0$ (2 racines)
$a\lt 0$
$a\gt 0$
Pour des exemples d'études de signes et d'inéquations sur des polynômes du second degré, vous pouvez utiliser l'exerciseur suivant : test Etudier le signe d'un polynôme du second degré et résoudre des inéquations...